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北师大版高一数学函数知识点

时间:2020-10-16 15:02:52 浏览次数:
关键词: 知识点 高一 函数

  

  函数的单调性:设函数f(x)的定义域为I.

  如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

  (1)若总有f(x1)

  (2)若总有f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是减函数。

  如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性,这一区

  间叫做函数y=f(x)的单调区间。

  函数的奇偶性:在函数y=f(x)中,如果对于函数定义域内的任意一个x.

  (1)若都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数;

  (2)若都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。

  如果函数y=f(x)在某个区间上是奇函数或者偶函数,那么称函数y=f(x)在该区间上具有奇偶性。

  1.作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图像一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

  2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与x轴交

  点的坐标总是(0,b)正比例函数的图像总是过原点。

  3.k,b与函数图像所在象限:

  当k0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

  当k0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

  当b0时,直线必通过一、二象限;当b0时,直线必通过三、四象限。

  特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。

  这时,当k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。

  自变量x和因变量y有如下关系:

  y=kx+b

  则此时称y是x的一次函数。

  当b=0时,y是x的正比例函数。

  即:y=kx (k为常数,k0)

  3基本初等函数

  指数函数的一般形式为y=a^x(a0且不=1) ,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得

  如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

  在函数y=a^x中可以看到:

  (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,

  同时a等于0一般也不考虑。

  (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

  (3) 函数图形都是下凹的。

  (4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。

  (5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴

  的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

  (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

  (7) 函数总是通过(0,1)这点

  (8) 显然指数函数无界。

  (9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

  例1:下列函数在R上是增函数还是减函数

  ⑴y=4^x

  因为41,所以y=4^x在R上是增函数;

  ⑵y=(1/4)^x

  因为01/41,所以y=(1/4)^x在R上是减函数

  对数函数

  一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

  真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零, 底数则要大于0且不为1

  对数函数的底数为什么要大于0且不为1

  在一个普通对数式里 a0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是,根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:loga M^n = nloga M 如果a0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16)

  对数函数的一般形式为 ,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

  右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:

  可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

  (1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。

  (2) 对数函数的值域为全部实数集合。

  (3) 函数总是通过(1,0)这点。

  (4) a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。

  (5) 显然对数函数无界。

  对数函数的运算性质:

  如果a〉0,且a不等于1,M0,N0,那么:

  (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

  (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

  (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n属于R)

  北师大版高一数学练习

  1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f(-12)f(12)0,则方程f(x)=0在[-1,1]内

  (  )

  A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根

  C.有唯一的实数根 D.没有实数根

  解析:由f -12f 120得f(x)在-12,12内有零点,又f(x)在[-1,1]上为增函数,

  f(x)在[-1,1]上只有一个零点,即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根.

  答案:C

  2.(2014长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的,x、f(x)的对应关系如下表:

  x 1 2 3 4 5 6

  f(x) 136.13 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064

  则函数f(x)存在零点的区间有

  (  )

  A.区间[1,2]和[2,3]

  B.区间[2,3]和[3,4]

  C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]

  D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

  解析:∵f(2)与f(3),f(3)与f(4),f(4)与f(5)异号,

  f(x)在区间[2,3],[3,4],[4,5]上都存在零点.

  答案:C

  3.若a1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则1m+1n的取值范围是

  (  )

  A.(3.5,+) B.(1,+)

  C.(4,+) D.(4.5,+)

  解析:令ax+x-4=0得ax=-x+4,令logax+x-4=0得logax=-x+4,

  在同一坐标系中画出函数y=ax,y=logax,y=-x+4的图象,结合图形可知,n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍,由y=xy=-x+4,解得x=2,所以n+m=4,因为(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4,又nm,故(n+m)1n+1m4,则1n+1m1.

  答案:B

  4.(2014昌平模拟)已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间是

  (  )

  A.(0,1) B.(1,2)

  C.(2,3) D.(3,4)

  解析:函数f(x)的导数为f(x)=1x,所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-10,g(2)=ln 2-120,所以函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.

  答案:B 的人还: